Jika \( A = \begin{bmatrix} 4 & 3 \\ 2 & 5 \end{bmatrix}\) dan \( A^2-xA+yI = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \), maka \( x + y = \cdots \)
- 9
- 14
- 19
- 23
- 25
(SIMAK UI 2013)
Pembahasan:
Dari soal diketahui bahwa \( A^2-xA+yI = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \) sehingga:
\begin{aligned} A^2-xA+yI &= \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \\[8pt] \begin{bmatrix} 4 & 3 \\ 2 & 5 \end{bmatrix}^2 -x \begin{bmatrix} 4 & 3 \\ 2 & 5 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} y & 0 \\ 0 & y \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \\[8pt] \begin{bmatrix} 4 & 3 \\ 2 & 5 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 4 & 3 \\ 2 & 5 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 4x & 3x \\ 2x & 5x \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} y & 0 \\ 0 & y \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \\[8pt] \begin{bmatrix} 22 & 27 \\ 18 & 31 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 4x & 3x \\ 2x & 5x \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} y & 0 \\ 0 & y \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \\[8pt] \begin{bmatrix} 22-4x+y & 27-3x \\ 18-2x & 31-5x+y \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \end{aligned}
Dari kesamaan matriks di atas, kita dapat beberapa persamaan berikut:
\begin{aligned} 18-2x = 0 \Leftrightarrow 2x &= 18 \\[8pt] x &= 9 \\[8pt] 22-4x+y &= 0 \\[8pt] 22-4(9)+y &=0 \\[8pt] 22-36+y &= 0 \\[8pt] y &= 14 \\[8pt] x + y = 9 + 14 &= 23 \end{aligned}
Jawaban D.